平台:LeetCode
题号:1697
给你一个 n
个点组成的无向图边集 edgeList
,其中
表示点
和点
之间有一条长度为
的边。请注意,两个点之间可能有 超过一条边 。
给你一个查询数组 queries
,其中
,你的任务是对于每个查询
,判断是否存在从
到
的路径,且这条路径上的每一条边都 严格小于
。
请你返回一个 布尔数组 answer
,其中 answer.length == queries.length
,当
的查询结果为 true
时, answer
第 j
个值为 true
,否则为 false
。
示例 1:
输入:n = 3, edgeList = [[0,1,2],[1,2,4],[2,0,8],[1,0,16]], queries = [[0,1,2],[0,2,5]]
输出:[false,true]
解释:上图为给定的输入数据。注意到 0 和 1 之间有两条重边,分别为 2 和 16 。
对于第一个查询,0 和 1 之间没有小于 2 的边,所以我们返回 false 。
对于第二个查询,有一条路径(0 -> 1 -> 2)两条边都小于 5 ,所以这个查询我们返回 true 。
示例 2:
输入:n = 5, edgeList = [[0,1,10],[1,2,5],[2,3,9],[3,4,13]], queries = [[0,4,14],[1,4,13]]
输出:[true,false]
解释:上图为给定数据。
提示:
为了方便,我们将点数记为 n
,边数记为 m
,询问数量记为 k
,将 edgeList
简化为 es
,将 queries
简化为 qs
。
对于点边数量都在
,同时询问次数也在
的问题,不可能对于每个询问执行最短路算法,尤其还需考虑边权限制。
对于一个询问
而言,等价于问我们使用所有边权小于 limit
的边,能否使得 a
和 b
两点联通。
关于回答连通性问题,容易想到并查集。同时我们可以通过「调整回答询问的顺序」来降低复杂度(避免重复重置并查集和添加某些边),即转换为离线问题来处理。
❝何为离线问题?预先知道所有询问,能够通过调整回答询问的顺序,来降低算法复杂度。同时不同询问相互独立,不会因为调整询问顺序,对每个询问的结果造成影响。例如莫队算法。 ❞
具体的,我们可以对边集 es
和所有询问 qs
分别按照「边权」以及「限制」排升序。为了排序后,仍能知道当前询问的原编号,我们要将所有的 qs[i]
转换为四元组。
随后从前往后处理每个询问 qs[i] = (a, b, t, idx)
,同时使用变量 j
来记录当前处理到的边。在查询 a
和 b
是否连通前,先将边集 es
中所有所有边权小于 t
的边应用到并查集上,从而实现每次 ans[idx] = query(a, b)
查询到的是原图中所有边权小于限制值 t
的子图。
Java 代码:
class Solution {
static int N = 100010;
static int[] p = new int[N];
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
void union(int a, int b) {
p[find(a)] = p[find(b)];
}
boolean query(int a, int b) {
return find(a) == find(b);
}
public boolean[] distanceLimitedPathsExist(int n, int[][] es, int[][] _qs) {
for (int i = 0; i < n; i++) p[i] = i;
int m = es.length, k = _qs.length;
int[][] qs = new int[k][4];
for (int i = 0; i < k; i++) qs[i] = new int[]{_qs[i][0], _qs[i][1], _qs[i][2], i};
Arrays.sort(qs, (a,b)->a[2]-b[2]);
Arrays.sort(es, (a,b)->a[2]-b[2]);
boolean[] ans = new boolean[k];
for (int i = 0, j = 0; i < k; i++) {
int a = qs[i][0], b = qs[i][1], t = qs[i][2], idx = qs[i][3];
while (j < m && es[j][2] < t) {
union(es[j][0], es[j][1]);
j++;
}
ans[idx] = query(a, b);
}
return ans;
}
}
C++ 代码:
class Solution {
public:
int p[100010];
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
void unite(int a, int b) {
p[find(a)] = find(b);
}
bool query(int a, int b) {
return find(a) == find(b);
}
vector<bool> distanceLimitedPathsExist(int n, vector<vector<int>>& es, vector<vector<int>>& qs) {
for (int i = 0; i < n; i++) p[i] = i;
int m = es.size(), k = qs.size();
vector<vector<int>> qss(k, vector<int>(4, 0));
for (int i = 0; i < k; i++) qss[i] = {qs[i][0], qs[i][1], qs[i][2], i};
sort(qss.begin(), qss.end(), [](const vector<int>& a, const vector<int>& b) {
return a[2] < b[2];
});
sort(es.begin(), es.end(), [](const vector<int>& a, const vector<int>& b) {
return a[2] < b[2];
});
vector<bool> ans(k, false);
for (int i = 0, j = 0; i < k; i++) {
int a = qss[i][0], b = qss[i][1], t = qss[i][2], idx = qss[i][3];
while (j < m && es[j][2] < t) {
unite(es[j][0], es[j][1]);
j++;
}
ans[idx] = query(a, b);
}
return ans;
}
};
Python 代码:
class Solution:
def distanceLimitedPathsExist(self, n: int, es: List[List[int]], _qs: List[List[int]]) -> List[bool]:
p = [i for i in range(n)]
def find(x):
if p[x] != x:
p[x] = find(p[x])
return p[x]
def union(a, b):
p[find(a)] = p[find(b)]
def query(a, b):
return find(a) == find(b)
m, k = len(es), len(_qs)
qs = [(a, b, c, i) for i, (a, b, c) in enumerate(_qs)]
es.sort(key=lambda x: x[2])
qs.sort(key=lambda x: x[2])
j = 0
ans = [False] * k
for i in range(k):
a, b, t, idx = qs[i]
while j < m and es[j][2] < t:
union(es[j][0], es[j][1])
j += 1
ans[idx] = query(a, b)
return ans
TypeScript 代码:
function distanceLimitedPathsExist(n: number, es: number[][], _qs: number[][]): boolean[] {
const p = new Array<number>(n).fill(0)
for (let i = 0; i < n; i++) p[i] = i;
function find(x: number): number {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x])
return p[x]
}
function union(a: number, b: number): void {
p[find(a)] = p[find(b)]
}
function query(a: number, b: number): boolean {
return find(a) == find(b)
}
const m = es.length, k = _qs.length
const qs = []
for (let i = 0; i < k; i++) qs.push([_qs[i][0], _qs[i][1], _qs[i][2], i])
qs.sort((a, b)=>a[2]-b[2])
es.sort((a, b)=>a[2]-b[2])
const ans = new Array<boolean>(k).fill(false)
for (let i = 0, j = 0; i < k; i++) {
const a = qs[i][0], b = qs[i][1], t = qs[i][2], idx = qs[i][3]
while (j < m && es[j][2] < t) {
union(es[j][0], es[j][1])
j++
}
ans[idx] = query(a, b)
}
return ans
}
;对所有边进行排序复杂度为
;对所有询问进行排序复杂度为
;统计答案时使用双指针的方式将所有边运用到并查集上,整体复杂度为
。整体复杂度为