哥德尔不完备性定理的意义是什么？

作者：金观涛

千百年来，哲学家一直面对一个问题，那就是数学研究究竟是一种什么样的求知活动。其实，主体具有纯数学知识亦是获得可以测量的可靠信息。

那么，主体又是如何通过纯数学研究获得可测量的可靠信息的呢？如果去分析数学定理的证明过程，数学证明是符号的等价取代和包含，在逻辑上相当于同义反复，通过符号的等价取代并不能获得信息。这样一来，纯数学知识中可测量的可靠信息，似乎只能是主体在用符号指涉对象时获得的。

20世纪哲学家把数学视为逻辑语言的一部分，逻辑语言是用符号系统不矛盾地指涉经验对象。据此，逻辑经验论认为，纯数学知识中可测量的可靠信息来自用符号把握经验活动。这一结论正确吗？不正确！因为当符号没有经验意义时（如组合数学），数学定理被证明同样是符号集的可能性空间缩小，这时主体并没有从经验中获得可测量的可靠信息。纯数学是科学真实的一部分，但是数学研究和经验活动中的感知与控制不同，数学家不需要经验就能获得纯数学知识。既然科学知识即可测量的可靠信息，纯数学知识中可靠的信息又是从哪里来的呢？

人是符号物种，主体始终面对两类对象：一类是经验对象，另一类是符号对象。当经验对象的可能性空间缩小时，主体获得的信息代表着感知和相应的控制。然而，符号对象可能性空间的缩小同样是获得信息，只要该符号对象和经验对象无关（不指涉经验），主体得到的可测量的可靠信息就是纯数学知识。数学是用一组公理来规定的，20世纪布尔巴基学派用公理化方法把所有数学分支都建立在集合论之上，而所有数学定理均从公理用逻辑推理导出。

这样，我们得出一个重要结论：纯数学知识作为可测量的可靠信息，一开始就已经被包含在定义该数学分支的公理之中了。公理作为符号系统的结构，是符号组合的可能性空间缩小；纯数学研究（如定理证明）不是别的，其乃从公理集合中提取相应可测量的可靠信息的活动。

既然纯数学知识亦是可测量的可靠信息，我们立即就发现数学研究的奇葩性。因为规定数学门类的公理作为符号系统的结构是主体人为设定的，主体在提出数学公理时，已经实现了符号组合可能性空间的缩小。数学家根据相应的公理系统进行纯数学研究如证明定理、解决各种数学问题，实际上是在提取自己在规定公理时已经得到的可测量的可靠信息。换言之，主体先把可测量的可靠信息注入作为符号系统的对象中，然后又费九牛二虎之力把这由公理规定的各种信息一点一滴地榨取出来。科学的目的是获得新知识，寻找原先放进符号系统的东西似乎是在做无用功。主体为什么要去从事这种活动呢？

答案就在符号物种特有的主体和对象的关系之中。对于经验和符号这两种不同的对象，获得可测量的可靠信息的意义是完全不同的。经验对象是主体不能任意选择的，为了获得经验对象的可测量的可靠信息，主体必须去实现控制和相应的感知。控制作为手段，其目的是获得经验对象越来越多的可靠信息。

然而，因为符号系统及其结构是主体可以自由选择的，上述获得信息的方法对纯符号对象完全没有意义。对于纯符号对象，信息的存在仅在于其代表了知识的可靠性。对于符号系统的可靠性研究，只有通过先人为地制定公理，把可靠信息注入符号对象中，再用纯数学研究把注入符号系统的可靠信息提取出来，才能揭示可靠性在纯符号系统中的分布及传递方式。

而事实上，集合论的公理规定了如何自洽地给出符号系统。换言之，集合论用公理化排除了悖论，从此可以自洽地给出符号系统。在此基础上，在相应的符号系统中规定公理以得出不同的数学分支。这时，只要这些公理互相不矛盾，其一定导致符号组合的可能性空间（不确定性）减少。换言之，规定信息的确定性就会传递到该数学分支的整个符号系统，主体可以判别符号对象是否具有公理系统信息的确定性，从而知晓其是否可靠。因信息的可靠性即真实性，这样证明数学命题真假的过程也就和信息传递过程一致。

也就是说，如果任意一个数学命题不能由公理推出，它一定不包含公理系统信息的确定性和可靠性，即该数学命题一定是假的。

最早发现这一点的是希尔伯特。20世纪20年代集合论公理化完成之后，希尔伯特立即提出所有数学系统都是完备的构想。

什么是数学系统的完备性？数学系统由命题组成，任何一个命题非真即假，当任何一个命题真假均可判别时，该数学系统即为完备的。希尔伯特认为，正因为所有数学系统都由公理规定，只要各公理保持独立性（即所有公理都不可互相化约）和兼容性（不能从公理系统导出矛盾），该数学系统必定是完备的。

希尔伯特对纯符号系统真实性的论断正确吗？表面上看，这是无可怀疑的。主体先用公理规定符号系统的结构，公理具有可测量的可靠信息，其可靠性传递到公理规定的每一个数学命题，信息可靠性即真实性。这样，该数学系统的每一个命题真假都可根据其能否用公理推出判定。纯数学作为由公理规定自身结构的符号系统，其完备性应无可非议。

数学系统的完备性就是主体对数学对象的完全可知性。正因为纯符号系统是主体自由建构的对象，其确定性由主体规定，当然完全可以认知。希尔伯特曾用如下豪言壮语表达他对数学完备性的信心：“我们必须知道，我们必将知道。”然而，上述看来无可怀疑的希尔伯特纲领是错的。

1931年，在希尔伯特提出数学系统完备性不到三年后，一位年轻数学家哥德尔证明：任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用规定该数学系统的公理既不能判定其为真，亦不能判定其为假。也就是说，包含初等算数命题的数学系统不能同时满足无矛盾性和完备性。这便是著名的哥德尔不完备性定理。哥德尔不完备性定理如晴天霹雳，一下子摧毁了100多年来数学家对数学知识确定性的信心。数学显示了其诡异的面貌：在纯符号真实中居然存在着可能为真但不能给予证明的对象。

数学是主体人为规定的符号结构，为什么人不能证明自己明确规定为真的东西？差不多一个世纪了，人们仍对此百思不得其解。哥德尔不完备性定理一度被认为是计算机不能超过人脑的根据。然而，一个计算机不能判定真假的数学问题，人也不能判别。由于人们习惯于把算术视为最简单的数学系统，很多人据此认为，哥德尔不完备性定理如同说谎者悖论那样，属于逻辑系统为了排除悖论带来的不确定性。

其实，上述对哥德尔不完备性定理的哲学理解亦不准确。为什么？因为并不是任何一个由公理规定的符号系统（数学领域）都不完备，很多时候希尔伯特的断言是对的。哥德尔不完备性定理成立有一个前提，那就是那些由公理规定的符号系统中必须存在着数论陈述，即其必定和自然数命题直接有关。换言之，满足哥德尔不完备性定理的数学系统必须可以定义自然数。我们知道并不是所有数学系统都直接包含定义自然数的公理，即使这些数学系统以自然数作为自己子集。

举个例子。欧几里得几何学可以通过一阶公理化成为一个完备的系统。事实上，《几何原本》中有关几何学的公理集已经非常接近于完备的系统。只要对欧几里得几何学中的公理进行更严格的定义，欧几里得几何学就是完备的，其中每一个命题都可以证明真假。20世纪初，希尔伯特对欧几里得公理系统进行了成功的改造，这也是他提出数学系统完备性构想的前提。

为什么哥德尔定理如此怪异，一定要和自然数集直接相关？我认为，真实性哲学的知识论可以回答这一问题。数学作为特殊的符号系统，存在三种不可化约的结构。第一种是拓扑结构，其核心为邻域，它是普遍可重复受控实验中控制的符号表达。第二种是代数结构，其核心为符号之间映像的研究，这是普遍可重复受控实验中各种可控制变量和可观察变量关系的符号表达。第三种是符号系统的序结构，它是受控实验作为一个整体普遍可重复及无限扩张的符号表达。在这三种基本结构中，只有序结构可用于定义自然数。换言之，自然数作为一个符号系统，表达的不只是受控实验结构的部分和细节，而是受拉实验作为一个整体的普遍可重复和无限扩张。

下面我将证明：哥德尔不完备性定理成立的前提和自然数公理有关，正是出于自然数集蕴含着所有受控实验与受控观察和普遍可重复的受控实验和受控观察之间的关系。

当用一个自然数对应着某一种受控实验和受控观察时，戴德金公理给出了所有受控实验和受控观察的集合。由已知受控实验和受控观察通过组织和迭代给出的受控实验和受控观察集合，只是自然数集合中的一个递归可枚举集合，它只是所有自然数集合的真子集。哥德尔不完备性定理正是通过分析任何一个自然数和自然数的递归可枚举集合的关系证明的。这个证明究竟在认识论上蕴含着什么呢？现在我们把从公理证明定理的过程与受控实验和受控观察的扩张对应起来，它极为深刻地揭示了科学真实中符号真实和经验真实的关系。

公理为真是数学知识的出发点，一组公理对应着一组普遍可重复的受控实验和受控观察，由公理推出的定理是由普遍可重复的受控实验和受控观察通过组织和迭代产生新的普遍可重复的受控实验和受控观察。显而易见，对于任何一个给定的自然数，我们无判定它是否一定属于自然数的某一个递归可枚举集合。任何一个给定的自然数正好对应着任何一个受控实验和受控观察，而自然数的递归可枚举集合恰恰对应着普遍可重复的受控实验和受控观察集合。

也就是说，一旦涉及代表所有受控实验和受控观察集合（自然数集合），并不是每一个都属于普遍可重复的受控实验和受控观察集合。这在经验上是人人皆知的，一旦将其转化为符号系统，不正是哥德尔不完备性定理吗？换言之，数学知识之所以不完备，是因为它是普遍可重复的受控实验和受控观察集合的符号结构。

真实性哲学的数学知识论证明：如果仅仅在数学知识范围内考虑哥德尔不完备性定理，它的哲学意义晦暗不明；只要把包含数学的科学知识看作一个整体，将符号真实对应到相应的受控实验真实，就会发现，因为普遍可重复的受控实验为真，由一组给定的普遍可重复的受控实验通过组织和迭代形成的新受控实验也是普遍可重复的，其构成了普遍可重复的受控实验的扩张链，该链当然不等于所有受控实验和受控观察集合。换言之，正因为纯数学作为符号系统和科学经验真实同构，我们可以这样概括哥德尔不完备性定理的知识论意义：在科学真实领域存在着我们知晓可能为真但不能证明的对象，即真实性的证明和真实性的存在是不能等同的！

自哲学从古希腊超越视野中产生以来，真实和存在是两个不能分离的观念。柏拉图把知识定义为可以被证明为真的信念，在该定义中，被证明为真和存在似乎没有区别。那么，是否存在着可能为真但我们不能证明的对象呢？这一直是以求知为终极关怀的古希腊超越视野的难题。在某种意义上，正是这个难题促使新柏拉图主义走向基督教。真实性哲学对知识的定义和柏拉图相同，但一举解决了古希腊超越视野不能解决的问题。如果说哥德尔不完备性定理是从数学真实本身证明在纯符号中存在着可能为真但不能证明的对象，真实性哲学则指出该结论必须推广到整个科学知识论，从而超越了古希腊哲人对知识的理解。

对数学知识的探讨，再一次证明真实性是主体、控制手段和对象之间的一种关系。真实性把自己独特的结构同时赋予经验对象和纯符号对象，当经验对象之间自明的关系同构映射到相应的纯符号对象中时，哥德尔不完备性这样奇妙的定理就形成了！这一切都源于数学是受控实验的普遍可重复性及其无限制扩张的符号结构。

本文摘自《真实与虚拟：后真相时代的哲学》 金观涛著 中信出版集团 2023.7 注释从略