渲染方程(2)：VRE
在光线传输中，光子的碰撞导致了光线能量的变化，这主要有两种情况，情况a：传输过程中光子和粒子的碰撞；情况b：光子和物体表面的碰撞。前一篇我们讲了如何通过radiance描述一条光线携带的能量，本篇主要解释这些碰撞引起的光线状态变化，以及如何计算radiance在这个过程中的变化。
BRDF
我们假设真空环境，因此只需要考虑情况b。光线和物体表面碰撞时，会有漫反射，镜面反射（不考虑折射），同时一部分能量也会转换为热能。如上图，在这个过程中，我们可以理解为来自方向
的光线（radiance），打到物体表面的某一个微表面
，能量被该表面吸收后又以方向
发射出一条光线（radiance）。这里，这个微表面
接收到来自
方向的光线的能量，对应radiance和irradiance的转换：
而从该微表面
以
方向射出的光线的能量，则记为
(相对于
)。
这里会引入一个函数BRDF，用来定义微表面
接收到的来自
的irradiance和发射到
的radiance之间的比例：
RE
BRDF决定了物体和光之间的相互作用，最终对应的就是我们常说的材质模型BRDFs。通过BRDF，既然我们能够计算从一个角度
的入射光对反射光的贡献
，我们也可以计算从任意角度的入射光对反射光的贡献，如上图，对
做一个半球积分：
这里，
是入射光的radiance，红色为其相对于
点微表面的irradiance，经过
转为反射光的radiance，对这个过程做一个半球积分，则可以得到反射光
的radiance。假如该点可以自发光，我们考虑其emission在
方向的贡献
，这就是大名鼎鼎的rendering equation（RE）：
需要额外考虑两点：第一点，
和
没有本质区别，都是空间中的一条射线，相对于p点的反射光就是下一光路的入射光，区别仅仅是方向。因此，从线性代数上，如上的积分存在这样的线性关系：
这里，揭示了光路贡献的来源：红色的自发光（从光源直接打到相机，光路长度1），绿色是直接光照（光源打到物体表面然后直接打到相机，光路长度2），橙色则是间接光照（经过2+反弹后打到相机，光路长度3+）。
通常，rasterization渲染管线能够高效且简单的考虑前两部分的贡献，而光线追踪可以做到考虑所有光路的贡献：global illumination = direct illumination + indirect illumination。下图可以看到direct和indirect各自的贡献（从光源出发或从相机出发的光路贡献的不同）。
VRE
接着，我们在考虑情况a，非真空下，光线传输过程中的碰撞。在这个过程中，主要有四种情况：
- Absorption：光子和粒子碰撞后能量转化为粒子的内部能量，能量减少，我们定义
，描述该光子被吸收的概率
- Scattering：光子碰撞后方向发生变化，分为out和in两种情况，前者导致能量的减少，后者导致能量增强，我们定义
，描述该光子发生scattering的概率
- Emission：遇到会发光的粒子，能量增强
因此，最终radiance的变化等于上述三种情况之和，我们称其为radiative transfer equation(RTE)：
这里，
，是absorption和out-scattering之和，称为extinction。
这个是积分微分方程，如上图，在
到
的光路中，每一个点都有一定概率发生如上的碰撞，我们取
，公式1左边是指radiance在
方向的变化，对两边求积分。这里，我们记Transmittance：
令
，
，
，
表示
之间的变化距离，等式1两边乘以
：
已知：
(2)式代入(3)式：
对于红色部分，我们可得：
这样，红色和蓝色部分抵消后，我们计算
，也就是从
到
的距离：
当
是，
，这样，我们通过RTE获取了volume rendering equation（VRE），公式（5）可得：
这里，
表示来自物体表面
的radiance，我们将其用rendering equation来表示，得到渲染方程的一般形式：
至此，我们推导出了渲染方程的一般解，基于这个公式，我们就可以获取任意场景下物理正确的渲染解。我愿称其为我心中的最美方程。但我想我还是不会纹在身上，我怕疼，公式太长了，忍不了。不清楚为何word的公式上传到微信公众号为何压缩的这么模糊，记得第一次时没有这个问题的。
参考资料
P14~P15 Games101
Path tracing in Production Siggraph 2019
light transport, Advanced Graphics, GMT, Utrecht University
PBR book
Production Volume Rendering SIGGRAPH 2017